Un matemático que saca lo mejor de las cosas

Las palabras “óptimo” y “optimizar” derivan del latín “optimus”, o “mejor”, como en “hacer lo mejor de las cosas”.

Alessio Figalli, matemático de la Universidad ETH de Zúrich, estudia el transporte óptimo:

la asignación más eficiente de puntos de partida a puntos finales.

El ámbito de investigación es amplio e incluye nubes, cristales, burbujas y chatbots.

A Figalli, que recibió la Medalla Fields en 2018, le gustan las matemáticas motivadas por problemas concretos que se encuentran en la naturaleza.

También le gusta el “sentido de eternidad” de la disciplina, dijo en una entrevista reciente.

“Es algo que estará aquí para siempre”.

(Nada es para siempre, reconoció, pero las matemáticas estarán presentes “por mucho tiempo”).

“Me gusta el hecho de que si demuestras un teorema, lo demuestras”, dijo.

“No hay ambigüedad: es verdadero o falso. En cien años, puedes confiar en él, pase lo que pase”.

El estudio del transporte óptimo fue introducido hace casi 250 años por Gaspard Monge, un matemático y político francés que estaba motivado por los problemas de la ingeniería militar.

Sus ideas encontraron una aplicación más amplia en la solución de problemas logísticos durante la era napoleónica, por ejemplo, identificando la forma más eficiente de construir fortificaciones, con el fin de minimizar los costos de transporte de materiales a través de Europa.

En 1975, el matemático ruso Leonid Kantorovich compartió el Premio Nobel de Ciencias Económicas por refinar una rigurosa teoría matemática para la asignación óptima de recursos.

"Tenía un ejemplo con las panaderías y las cafeterías", dijo Figalli.

El objetivo de optimización en este caso era garantizar que, a diario, cada panadería entregara todos sus croissants y cada cafetería recibiera todos los croissants deseados.

"Se llama un problema de optimización del bienestar global en el sentido de que no hay competencia entre panaderías, ni competencia entre cafeterías", dijo.

"No es como optimizar la utilidad de un jugador. Es optimizar la utilidad global de la población. Y por eso es tan complejo:

porque si una panadería o una cafetería hace algo diferente, esto influirá en todos los demás”.

La siguiente conversación con Figalli ha sido condensada y editada para mayor claridad.

P: ¿Cómo terminarías la frase “Las matemáticas son…”? ¿Qué son las matemáticas?

R: Para mí, las matemáticas son un proceso creativo y un lenguaje para describir la naturaleza.

La razón por la que las matemáticas son como son es porque los humanos se dieron cuenta de que era la forma correcta de modelar la Tierra y lo que estaban observando. Lo fascinante es que funciona tan bien.

P: ¿La naturaleza siempre busca optimizar?

R: La naturaleza es naturalmente un optimizador.

Tiene un principio de energía mínima:

la naturaleza por sí misma.

Luego, por supuesto, se vuelve más complejo cuando entran otras variables en la ecuación.

Depende de lo que estés estudiando.

Cuando estaba aplicando el transporte óptimo a la meteorología, estaba tratando de entender el movimiento de las nubes.

Era un modelo simplificado en el que se descuidaban algunas variables físicas que pueden influir en el movimiento de las nubes.

Por ejemplo, se puede ignorar la fricción o el viento.

El movimiento de partículas de agua en las nubes sigue una ruta de transporte óptima.

Y aquí se transportan miles de millones de puntos, miles de millones de partículas de agua, a miles de millones de puntos, por lo que es un problema mucho mayor que el de 10 panaderías a 50 cafeterías.

Los números crecen enormemente.

Por eso se necesitan las matemáticas para estudiarlo.

P: ¿Qué fue lo que captó su interés en el transporte óptimo?

R: Lo que más me entusiasmó fueron las aplicaciones y el hecho de que las matemáticas fueran muy hermosas y vinieran de problemas muy concretos.

Hay un intercambio constante entre lo que las matemáticas pueden hacer y lo que la gente necesita en el mundo real.

Como matemáticos, podemos fantasear.

Nos gusta aumentar las dimensiones:

trabajamos en un espacio de dimensiones infinitas, lo que la gente siempre piensa que es un poco loco.

Pero es lo que nos permite ahora utilizar teléfonos móviles, Google y toda la tecnología moderna que tenemos.

Todo no existiría si los matemáticos no hubieran sido lo suficientemente locos como para salir de los límites estándar de la mente, donde solo vivimos en tres dimensiones.

La realidad es mucho más que eso.

En la sociedad, el riesgo siempre es que la gente sólo vea las matemáticas como importantes cuando ve la conexión con las aplicaciones.

Pero es importante más allá de eso: el pensamiento, los desarrollos de una nueva teoría que surgió a través de las matemáticas a lo largo del tiempo y que condujo a grandes cambios en la sociedad. Todo es matemáticas.

Y a menudo las matemáticas llegaron primero.

No es que te despiertes con una pregunta aplicada y encuentres la respuesta. Por lo general, la respuesta ya estaba allí, pero estaba allí porque la gente tenía el tiempo y la libertad de pensar en grande.

Al revés, puede funcionar, pero de una manera más limitada, problema por problema. Los grandes cambios suelen ocurrir debido al pensamiento libre.

P: La optimización tiene sus límites. La creatividad no se puede optimizar realmente.

R: Sí, la creatividad es lo opuesto.

Supongamos que estás haciendo una investigación muy buena en un área; tu esquema de optimización te haría quedarte allí.

Pero es mejor tomar riesgos.

El fracaso y la frustración son clave.

Los grandes avances, los grandes cambios, siempre llegan porque en algún momento estás saliendo de tu zona de confort, y esto nunca será un proceso de optimización.

Optimizar todo da como resultado, a veces, perder oportunidades.

Creo que es importante realmente valorar y ser cuidadoso con lo que optimizas.

P: ¿En qué estás trabajando actualmente?

R: Un desafío es usar el transporte óptimo en el aprendizaje automático.

Desde un punto de vista teórico, el aprendizaje automático es solo un problema de optimización en el que tienes un sistema y quieres optimizar algunos parámetros o características, para que la máquina realice una cierta cantidad de tareas.

Para clasificar imágenes, el transporte óptimo mide cuán similares son dos imágenes comparando características como colores o texturas y alineando estas características (transportándolas) entre las dos imágenes.

Esta técnica ayuda a mejorar la precisión, haciendo que los modelos sean más resistentes a los cambios o distorsiones.

Se trata de fenómenos de muy alta dimensión.

Se trata de comprender objetos que tienen muchas características, muchos parámetros, y cada característica corresponde a una dimensión.

Por lo tanto, si tienes 50 características, estás en un espacio de 50 dimensiones.

Cuanto mayor sea la dimensión en la que se encuentra el objeto, más complejo es el problema de transporte óptimo: se requiere demasiado tiempo, demasiados datos para resolver el problema y nunca podrás hacerlo.

Esto se llama la maldición de la dimensionalidad.

Recientemente, la gente ha estado tratando de buscar formas de evitar la maldición de la dimensionalidad.

Una idea es desarrollar un nuevo tipo de transporte óptimo.

P: ¿Cuál es la esencia de esto?

R: Al colapsar algunas características, reduzco mi transporte óptimo a un espacio de menor dimensión.

Digamos que tres dimensiones son demasiado grandes para mí y quiero convertirlo en un problema unidimensional.

Tomo algunos puntos en mi espacio tridimensional y los proyecto sobre una línea.

Resuelvo el transporte óptimo en la línea, calculo lo que debo hacer y repito esto para muchas, muchas líneas.

Luego, usando estos resultados en la dimensión uno, trato de reconstruir el espacio 3D original mediante una especie de pegado.

No es un proceso obvio.

P: Suena como la sombra de un objeto: una sombra cuadrada bidimensional proporciona cierta información sobre el cubo tridimensional que proyecta la sombra.

R: Es como las sombras. Otro ejemplo son los rayos X, que son imágenes 2D de tu cuerpo 3D.

Pero si haces rayos X en suficientes direcciones, esencialmente puedes unir las imágenes y reconstruir tu cuerpo.

P: ¿Superar la maldición de la dimensionalidad ayudaría con las deficiencias y limitaciones de la IA?

R: Si usamos algunas técnicas de transporte óptimo, tal vez esto podría hacer que algunos de estos problemas de optimización en el aprendizaje automático sean más robustos, más estables, más confiables, menos sesgados, más seguros.

Ese es el principio meta.

P: Y, en la interacción entre las matemáticas puras y aplicadas, ¿la necesidad práctica y real está motivando nuevas matemáticas?

R: Exactamente.

La ingeniería del aprendizaje automático está muy avanzada, pero no sabemos por qué funciona.

Hay pocos teoremas; si comparamos lo que puede lograr con lo que podemos demostrar, hay una brecha enorme.

Es impresionante, pero matemáticamente, todavía es muy difícil explicar por qué.

Por eso, no podemos confiar lo suficiente en él.

Queremos mejorarlo en muchas direcciones y queremos que las matemáticas nos ayuden.

c.2025 The New York Times Company